ご返信誠にありがとうございます。

こちら解決致しました。
ご指摘のあった個所ですが、以下の通りです。

>2.の設定で問題無く送信できたのであれば、メール送信を行った旨のログが出ているのではないかと思いますが如何でしょうか？
ログ上では送信完了と表示されておりましたが、sendgridに送信できていなかったようです。
正しいenvの設定は1.の設定でした。設定の内容はユーザー名を使用したものでも、APIKeyを使用したものでもよく、そのあたりはsendgrid公式に使用方法が記載されていました。

使用方法が合っていたのにtimeoutとなっていたのは私側のネットワーク設定の問題でした。
お騒がせ致しました。


>送信件数の打ち間違いでしょうか？
認識違いがありました。リクエスト件数がsendgrid上で確認できるので、正しくは「リクエスト件数」です


>あとsendgrid側で設定しているドメインとECCUBEのショップマスターで設定しているメールアドレスのドメインは一致していますか？
eccubeのドメインはまだ取得していない為、sendgrid側で独自ドメインの設定などは不要でそのまま使用できました。