＞既存ページ(新着情報管理ページ)には、どうやって検索機能を設けたらよいのでしょうか？

公式ドキュメントのこちらのページが参考になるかと思います。
https://doc4.ec-cube.net/customize_formtype

また、新着ではなく受注一覧ですが、検索項目を追加する方法をご紹介していますので、よろしければ参考にして見てください。
[4系プラグイン開発] たった３ステップで受注一覧へ検索絞り込み条件を追加する方法


＞仮に質問①の検索機能を実装できたとして、HTMLの配置位置をピンポイントに指定することは可能ですか？

これはご指摘の通りで、JavaScriptのコードで要素追加がプラグインでは一般的に用いられます。

----------------
EC-CUBEカスタマイズ・高速化・脆弱性対策・SEO ご相談ください。

2系・3系から4系へのバージョンアップ実績豊富