すみません。
色々調べてみたのですが、現時点でリリースされているcomposerは最新版が1.10.6のようですので
sada1019さんのサーバで動いているcomposerが2.0という訳ではないようです。
表示されているメッセージは事前の警告文のようなものかと思います。
紛らわしい回答をしていて申し訳ございません。

ただ、サーバで動作しているcomposerのバージョンを確認するにはターミナルによる操作が必要なのではないかと思います。

あと、プラグインがインストールされない件ですが
処理の流れを追っていくと
/src/Eccube/Controller/Admin/Store/PluginController.php function install()
でインストール処理が行われているかと思います。
この辺りをデバッグして、どこまで処理が進んでいて、どこでおかしくなっているか1ステップずつ確認していく必要があるかもしれません。

少し面倒臭いかもしれませんが
log_info('step1');
のようなログ出力の処理を1つずつ追記して、どこまでログが出力されるか確認するような形になるかと思います。

更に
/src/Eccube/Service/PluginService.php function install()
の処理を通って、/app/Plugin以下のディレクトリへのファイル展開やデータベースへの登録を行っているようです。
データベースへの登録が完了していない事から
/src/Eccube/Service/PluginService.php function postInstall()の途中で止まっているのではないかと思うのですが...

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株式会社シロハチ
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