投稿いただいた状況からサーバスペックが不足しているかと思われます。
弊社の運営しているECサイトでも瞬間的にアクセスが集中するような商品があるのですが
従量課金制クラウドサーバを利用して該当商品の在庫投入時には
10CPU、メモリ128Gくらいまでスケールアップして対応しています。
(WEBサーバやMySQLの設定値も都度変更しています)

アクセス負荷に対してはECCUBUのカスタマイズだけでは限界があり、
サーバの並列化等、ハードウェア、ネットワークを含めて総合的に設計をしていく必要があるかと思います。

取り急ぎ、緊急性が高いのであれば、コストが割高になるかもしれませんがAWS等の従量課金制クラウドサーバを利用し、
単体サーバで性能を調整できるようにしておいて、
その後、時間をかけてサーバ環境の再構築を行えば良いのではないでしょうか？

あと、
・会員登録メールが届かない。
の件については、外部のメール配信サービスを利用する等の方法も検討されたほうが良いかと思います。
短時間に一つのサーバから大量にメールを送信するとドコモ、au、ソフトバンク等はスパム判定を行い、しばらくメールが届かなくなる事があるようです。

・受注CSVをダウンロードすると、データがすべてダウンロードできない。
こちらはPHPのmemoly_limitの設定値等が原因ではないでしょうか？

もしかしたらサーバの乗り換えまでせずに、Apache、PHP、MySQLの設定値を変えるだけで改善されるかもしれませんので
その辺りが変更できるプランなのであれば、設定値を触ってみるのも良いかもしれません。

Zenlogicホスティングのサービスを見ていると
サーバー設定チューニングのサービスもあるようですので
サポートに相談されてみるのも良いのではないでしょうか？

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株式会社シロハチ
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