DNSの設定でSPFレコードは設定されていますか？
ECCUBEではなくDNSの話になるので詳細は別途調べていただきたいのですが
送信元のメールサーバが正当なものか判断するのに利用される情報ですので
SPFレコードが正しく設定できていないと受信側のセキュリティの仕組みで勝手にメールが破棄される場合があります。
その場合は相手にはまったくメールが届きませんし、こちらにもエラーメールは返ってきません。
gmail等はドメイン名の逆引き設定なども設定していないとメールが破棄される事がありますのでドメイン周りの設定を確認してみてください。
レンタルサーバのメールサーバを利用している場合は、SPFレコードの設定は正しく行われていると思いますが念の為。

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株式会社シロハチ
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