投稿者さんと同じ現象に直面したので、書き込みさせていただきます。
解決方法でなないですが、原因箇所の補足情報になります。

<私の環境>
[EC-CUBE] 4.0.5
[レンタルサーバ] さくらのレンタルサーバー
7.4.19 (モジュールモード)

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管理画面でアップデートを進めると、
/eccube_updater_405_to_406/check_source
までは正常に動作。
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ログを見る限り、次の処理
/eccube_updater_405_to_406/update_files
も正常に処理が完了しています。
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そして、その次の処理
/eccube_updater_405_to_406/dump_autoload
でエラーが発生します。
※ /eccube_updater_405_to_406/dump_autoload にリダイレクトされた直後にエラーが出ています。

コントローラー
/eccube/app/Plugin/EccubeUpdater405to406/Controller/Admin/ConfigController.php
の
public function dumpAutoload(CacheUtil $cacheUtil)
{
・・・
}
の処理が実行されていません。
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/eccube_updater_405_to_406/update_files の段階で、
/app/proxy/entity以下のプロキシファイルが削除されていて、再作成出来ていない状況です。

ログを見ると以下がエラーが出力されています。
php.INFO [N/A] [62d90cd] [N/A] [Symfony\Component\Debug\ErrorHandler:handleError:532] -
User Deprecated: The "Eccube\Service\Composer\ComposerApiService" service is private, getting it from the container is deprecated since Symfony 3.2 and will fail in 4.0. You should either make the service public, or stop using the container directly and use dependency injection instead. {"exception":"[object] (ErrorException(code: 0): User Deprecated: The \"Eccube\\Service\\Composer\\ComposerApiService\" service is private, getting it from the container is deprecated since Symfony 3.2 and will fail in 4.0. You should either make the service public, or stop using the container directly and use dependency injection instead. at [サーバーのルートパス]/eccube/vendor/symfony/dependency-injection/Container.php:282)"} [POST, /kpWcfdLdQoPvLqyMJY09ubkYn7RKkTmcLjnbHnVRfpHTD/eccube_updater_405_to_406/update_files, 217.178.83.44, [管理画面のルートパス]/eccube_updater_405_to_406/check_source, Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10_15_7) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/91.0.4472.114 Safari/537.36]

解決方法が分かる方いらっしゃいましたら、書き込みいただけたら幸いです。