SameSite Cookie 仕様変更の影響を受けるのは、 Chrome のみです。
すべてのブラウザで正常に動作しないのであれば、別の原因が考えられます。

data/class/helper/SC_Helper_Session.php の213行目付近、以下のロジックをコメントアウトすると不具合は解消されますでしょうか？
(ただし、この修正は脆弱性を生む懸念があります。恒久的な対応としてはおすすめしません。問題切り分けの用途のみに使用し、すぐに元に戻すようにしてください)

https://github.com/EC-CUBE/ec-cube2/blob/0d0f7a2a65ccda5c15caa03ab20499712173a412/data/class/helper/SC_Helper_Session.php#L213-L215

これで解消するようでしたら、SMBCのモジュール内で Warning が発生しているのが根本原因だと思われます。