ご返答ありがとうございました！
通常にメールを送っても何も起こらず、同じメールアドレスににECcubeから送られた自動メールはエラーという状態でしたので、ECcube側の問題かと思っておりました。
（本当に素人で申し訳ないです）

＞smtpで通信している先のサーバはどういったサーバを利用されているのでしょうか？

というのは、差出人設定しているメールのサーバということですよね？
ECcubeはmixhostに設置していて、メールも同じなので、そこへ問い合わせてみようと思います。

ありがとうございました。