プラグインの仕様として、注文完了後にメールを送信していないという可能性はないでしょうか？

プラグインによっては、クレジット決済完了→注文完了ページ表示の一連のロジックをプラグイン内に実装しており
ECCUBE側の処理に戻ってこない場合もあるかと思います。

その場合、プラグイン内の処理を改修して注文メールを送信する処理を追加する、
もしくは管理画面で手動で注文メールを送信する（再送の操作）、
といった対応が必要かと思います。

アナザーレーン決済のサポートに仕様を確認されてみては如何でしょうか？

----------------
株式会社シロハチ
■ECCUBE2系、3系構築カスタマイズご相談ください。
■EC-CUBE3マニュアル
■blog