ご返信誠にありがとうございます。
エラーログを確認したところ、mailの文字列などでGrepしてみましたが、
特にエラーなど出ていないようでした。
また、頂いたURLを参考に、Gmailの二段階認証とアプリパスワードを設定いたしました。

この設定に伴い、アプリ側はどのような修正を行えば良いでしょうか？
確か、初期インストール時にgmailを使って送信したい場合以下のファイルを修正しました。
app/config/eccube/mail.yml

mail:
transport: smtp
host: smtp.gmail.com
port: 465
username: GMAILのユーザー名
password: GMAILのパスワード
encryption: ssl
auth_mode: login

この記述を今回設定したアプリパスワード用に修正する必要があるのでしょうか？