> ・モジュール管理からモジュール一覧を取得するを選択しても
> 配信サーバーへ接続できませんと表示される。

エラーログを見ない事にはわかりません。
EC-CUBEのログは確認できますか？
どのようなエラーが出ますでしょうか？

> また、ec-cubeに問い合わせてみたところサイト自体は紐づいているため、サーバー設定やサイトのカスタマイズによる原因が考えられるとのことで、後はサポート外のため、どのようにすればいいのかわかりません。

サーバ設定やサイトのカスタマイズを行っているのであれば、極端なお話ですが初期インストール状態に戻せばわかるのではないでしょうか？

> 今回入れたいモジュールはGMO後払いで、もともとASJペイメントが入っているのが原因なのでしょうか？（2つ入れることはできないのでしょうか）

可能性はありますが、詳しいエラーログがないのでわかりません。

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EC-CUBEインテグレートパートナー【ゴールド】ランク
M&I Works
URL: https://miworks.biz/
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